Dreiecke

🔺 Bestandteile eines Dreiecks

Ein Dreieck ist eine ebene geometrische Figur mit drei Seiten, drei Winkeln und drei Eckpunkten.

• Eckpunkte: A, B, C (große Buchstaben)
• Seiten: a, b, c (kleine Buchstaben)
• Winkel: α (alpha) bei A, β (beta) bei B, γ (gamma) bei C

Wichtig: Die Seite a liegt gegenüber vom Eckpunkt A, die Seite b gegenüber von B, und die Seite c gegenüber von C.

📐 Die Winkelsumme im Dreieck

Satz: Die Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt immer 180°!

α + β + γ = 180°

Dies ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Dreiecken und gilt für ALLE Dreiecke, ohne Ausnahme!

Beweis durch Experiment:

Wenn du die drei Ecken eines Papierdreiecks abreißt und die Winkel zusammenschiebst, bilden sie eine gerade Linie (180°).

⚖️ Klassifikation nach Seiten

1. Gleichseitiges Dreieck

Alle drei Seiten sind gleich lang (a = b = c). Alle Winkel sind ebenfalls gleich groß!

α = β = γ = 60°

2. Gleichschenkliges Dreieck

Zwei Seiten sind gleich lang (die Schenkel). Die dritte Seite heißt Basis. Die beiden Basiswinkel sind gleich groß.

Wenn b = c, dann: α = β (Basiswinkel)

3. Ungleichseitiges (Skalenes) Dreieck

Alle drei Seiten haben unterschiedliche Längen (a ≠ b ≠ c). Alle Winkel sind unterschiedlich groß.

📏 Klassifikation nach Winkeln

1. Spitzwinkliges Dreieck

Alle drei Winkel sind spitz, also kleiner als 90°. α < 90°, β < 90°, γ < 90°

Beispiel: 50°, 60°, 70° → Summe: 180° ✓

2. Rechtwinkliges Dreieck

Einer der Winkel ist genau 90° (rechter Winkel). Die anderen beiden Winkel sind spitz und ergänzen sich zu 90°.

Besondere Begriffe:

• Hypotenuse: Die längste Seite, liegt dem rechten Winkel gegenüber
• Katheten: Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden

Beispiel: 90°, 45°, 45° → Summe: 180° ✓

3. Stumpfwinkliges Dreieck

Einer der Winkel ist stumpf, also größer als 90°. Die anderen zwei Winkel sind spitz.

Beispiel: 120°, 35°, 25° → Summe: 180° ✓

🔨 Konstruktion eines Dreiecks (SSS)

Mit der SSS-Methode (Seite-Seite-Seite) kann man ein Dreieck konstruieren, wenn alle drei Seitenlängen gegeben sind.

Gegeben: a = 6 cm, b = 5 cm, c = 4 cm

Konstruktionsschritte:

1. Basis zeichnen: Zeichne die Seite a mit Länge 6 cm. Markiere die Endpunkte als B und C.
2. Bogen von B: Stelle deinen Zirkel auf die Länge c = 4 cm ein. Zeichne einen Bogen um den Punkt B.
3. Bogen von C: Stelle deinen Zirkel auf die Länge b = 5 cm ein. Zeichne einen Bogen um den Punkt C.
4. Schnittpunkt: Die beiden Bögen schneiden sich in Punkt A.
5. Dreieck vollenden: Verbinde A mit B und C. Das Dreieck ist fertig!

💡 Tipp: Beim Konstruieren musst du die Dreiecksungleichung beachten: Die Summe von zwei Seiten muss größer als die dritte Seite sein!

📊 Weitere wichtige Linien im Dreieck

Höhe

Die Höhe ist eine Senkrechte von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerung). Jedes Dreieck hat drei Höhen. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.

Mittellinie (Seitenhalbierungslinie)

Die Mittellinie verbindet einen Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck hat drei Mittellinien. Sie schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt ist der Punkt, in dem sich die drei Mittellinien treffen. Er liegt auf jeder Mittellinie in einem Verhältnis von 2:1.

🎯 Schritt-für-Schritt-Beispiel

Aufgabe: Berechne den fehlenden Winkel eines Dreiecks mit α = 50° und β = 70°!

Nächster Schritt →

✏️ Übungen