Definition: Die Dezimalzahl hört irgendwann auf. Nach der letzten Ziffer kommt nichts mehr.
Beispiele:
• 0,5 (eine Ziffer nach dem Komma)
• 0,75 (zwei Ziffern nach dem Komma)
• 1,234 (drei Ziffern nach dem Komma)
• Diese entstehen aus Brüchen wie 1/2, 3/4, 1/8
Periodische (unendliche) Dezimalzahlen
Definition: Die Dezimalzahl hört nie auf. Eine oder mehrere Ziffern wiederholen sich immer wieder.
Beispiele:
• 1 ÷ 3 = 0,333... (die 3 wiederholt sich immer)
• 1 ÷ 6 = 0,1666... (die 6 wiederholt sich immer)
• 1 ÷ 7 = 0,142857142857... (142857 wiederholt sich immer)
• Diese entstehen aus bestimmten Brüchen
📝 Periode-Schreibweise
So schreibt man es mathematisch: Wir schreiben einen waagerechten Strich über die sich wiederholenden Ziffern. Das heißt "Periode" oder "Vinculum".
Beispiele mit Periode-Schreibweise:
Lange Form
Klammer-Form
Mit Strich (Vinculum)
0,3333...
0,(3)
0,3
0,1666...
0,1(6)
0,16
0,142857142857...
0,(142857)
0,142857
2,7777...
2,(7)
2,7
Arten von periodischen Dezimalzahlen
Rein periodisch: Die Periode beginnt sofort nach dem Komma
Beispiel: 0,(3) oder 0,(142857)
Gemischt periodisch: Es gibt Ziffern vor der Periode
Beispiel: 0,1(6) — die 1 ist nicht periodisch, die 6 schon
🔬 Wann ist eine Dezimalzahl endlich?
Die Regel: Ein Bruch (in gekürzt Form) ist eine endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner nur die Faktoren 2 und 5 hat (oder Potenzen davon).
Beispiele:
Bruch
Nenner-Faktoren
Endlich oder Periode?
1/2
2
✓ Endlich → 0,5
3/4
4 = 2²
✓ Endlich → 0,75
3/8
8 = 2³
✓ Endlich → 0,375
1/3
3
✗ Periode → 0,(3)
1/6
6 = 2 × 3
✗ Periode → 0,1(6)
1/7
7
✗ Periode → 0,(142857)
👣 Schritt-für-Schritt: 1 ÷ 3
Berechne die Dezimalzahl für den Bruch 1/3 durch lange Division:
Schritt 1: Erste Stelle berechnen
1 ÷ 3 = 0 Rest 1
Schreib: 0,
Schritt 2: Erste Dezimalstelle
10 ÷ 3 = 3 Rest 1
Schreib: 0,3
Der Rest ist wieder 1!
Schritt 3: Zweite Dezimalstelle
10 ÷ 3 = 3 Rest 1
Schreib: 0,33
Der Rest ist WIEDER 1!
Erkennt ihr das Muster?
Der Rest ist immer 1, also kommt immer 3.
✓ Ergebnis: 0,3333... = 0,(3)
Die 3 wiederholt sich unendlich!
✨ Merke: Manche Brüche ergeben unendliche Dezimalzahlen. Die sich wiederholenden Ziffern heißen "Periode".
💪 Interaktive Übungen
1️⃣ Schreib 2÷3 als Dezimalzahl mit Periode (Klammer-Schreibweise). Was ist die Antwort?
2️⃣ Schreib 1÷9 als Dezimalzahl mit Periode (Klammer-Schreibweise). Was ist die Antwort?
3️⃣ Ist 3/8 eine endliche Dezimalzahl? (ja/nein)
4️⃣ Ist 1/7 eine endliche Dezimalzahl? (ja/nein)
5️⃣ Wandle 0,(3) in einen gekürzten Bruch um. Welcher Bruch ist es?
📝 Zusammenfassung
Wichtigste Punkte:
✓ Endliche Dezimalzahlen enden nach endlich vielen Stellen
✓ Periodische Dezimalzahlen wiederholen Ziffern unendlich
✓ Periode schreibst du mit Klammern: 0,(3) oder 0,1(6)
✓ Ein Bruch ist endlich, wenn der Nenner nur Faktoren 2 und 5 hat
✓ Sonst ist der Bruch periodisch (unendlich)