Wenn mehr von eins, dann mehr vom anderen
Eine proportionale Zuordnung ist die Beziehung zwischen zwei Größen, bei der gilt:
Wenn sich eine Größe verdoppelt, verdoppelt sich die andere auch.
Mathematisch heißt das: y = k · x, wobei k das Verhältnis (die Quote) ist.
Das Wichtigste: Das Verhältnis bleibt immer gleich!
Schau dir diese Wertetabelle an:
| x (Stück) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (€) | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
Das ist proportional! Die Formel: y = 3 · x
Wenn du y durch x teilst, kommt immer 3 heraus: 3÷1=3, 6÷2=3, 9÷3=3 usw.
Wenn du eine proportionale Zuordnung zeichnest, erhältst du immer eine gerade Linie durch den Ursprung (0,0).
Das liegt daran, dass bei x=0 auch y=0 ist: y = 3 · 0 = 0
Es gibt auch den anderen Fall: Wenn eine Größe sich verdoppelt, halbiert sich die andere.
Beispiel: 4 Arbeiter brauchen 6 Tage für einen Job. 8 Arbeiter brauchen 3 Tage (doppelt so viele → halb so lange).
Formel: y = k ÷ x
Merke: Antiproportional = je mehr, desto weniger.
Der Dreisatz ist eine Lösungsmethode für proportionale Aufgaben.
Berechne den Einheitswert – wie viel kostet/ist 1 Stück?
Rechnung: 5 Hefte kosten 7,50€ → 1 Heft kostet 7,50€ ÷ 5 = 1,50€
Multipliziere den Einheitswert mit der gesuchten Menge.
Rechnung: 8 Hefte kosten 8 × 1,50€ = 12,00€
Manche mögen es lieber mit einer Tabelle. So geht's:
| Hefte | 5 | 1 | 8 |
|---|---|---|---|
| Preis (€) | 7,50 | 1,50 | 12,00 |
| ÷5 ×8 | |||
Zuerst durch 5 (auf 1), dann mal 8 (auf die gesuchte Menge).
Der Dreisatz hilft bei vielen alltäglichen Aufgaben:
60 km in 45 min → wie weit in 90 min?
Rezept für 4 Personen → Zutaten für 6 Personen?
Karte 1:50000 → echte Entfernung?
8 Liter auf 100 km → wie viel auf 250 km?
Maßstäbe sind auch Dreisätze! Ein Maßstab von 1:50000 bedeutet: 1 cm auf der Karte = 50000 cm in der Wirklichkeit.
Aufgabe: 3 Pizzen brauchen 450g Mehl. Wie viel Mehl brauche ich für 5 Pizzen?
Für 1 Pizza: 450g ÷ 3 = 150g
Für 5 Pizzen: 5 × 150g = 750g
4 Bleistifte kosten 2,80€. Was kosten 7 Bleistifte? (Antworte in €)
Ein Auto fährt 60 km in 45 Minuten. Wie weit fährt es in 60 Minuten?
Ist die Formel y = 5x eine proportionale Zuordnung? (ja/nein)
Maßstab 1:100000. 4 cm auf der Karte = wie viele km in Wirklichkeit?
6 Arbeiter bauen eine Mauer in 8 Tagen. Wie lange brauchen 4 Arbeiter? (Tage)