Gleichungen

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, bei der zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden sind. Die Gleichung behauptet, dass beide Seiten denselben Wert haben.

In einer Gleichung gibt es meistens eine Unbekannte (eine Variable, meist x), deren Wert wir suchen.

Die Gleichung: 3x + 2 = 14

3x + 2 = 14

🔵 3x + 2 = Linke Seite (LS) 🟡 = das Gleichheitszeichen 🟢 14 = Rechte Seite (RS)

✅ Das sind Gleichungen:

x + 5 = 12

3x = 18

2x + 4 = 10

5x − 3 = 17

4x − 2 = 14

❌ Das sind KEINE Gleichungen:

3x + 5 ← Term (kein =)

x > 3 ← Ungleichung

x + = 7 ← unvollständig

Wichtige Begriffe – diese musst du kennen!

📘 Linke Seite (LS) – alles links vom Gleichheitszeichen
📗 Rechte Seite (RS) – alles rechts vom Gleichheitszeichen
🔍 Lösung (L) – der Wert von x, für den die Gleichung wahr ist
✅ Probe – die Lösung in die Gleichung einsetzen und prüfen ob LS = RS gilt
🔄 Äquivalenzumformung – erlaubte Umformung, die die Lösung nicht verändert

Die goldene Regel – Äquivalenzumformungen

Um eine Gleichung zu lösen, formen wir sie so um, dass die Variable allein auf einer Seite steht. Dabei gilt eine einzige Grundregel:

Was man auf einer Seite macht, muss man auch auf der anderen Seite machen!
→ Beide Seiten immer gleich behandeln!

➕

Addition

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren

x − 4 = 7
| +4 +4
x = 11

➖

Subtraktion

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren

x + 6 = 10
| −6 −6
x = 4

✖️

Multiplikation

Beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren

x/3 = 5
| ·3 ·3
x = 15

➗

Division

Beide Seiten durch dieselbe Zahl dividieren

4x = 24
| ÷4 ÷4
x = 6

⚠️ Nie durch 0 dividieren! Und nie mit 0 multiplizieren – sonst geht Information verloren.

Die vier Gleichungstypen

In Klasse 6 lernst du vier Grundtypen kennen. Für jeden gibt es einen klaren Lösungsweg:

Typ 1: x + a = b

x + a = b

Beispiel: x + 5 = 12

➡️ Beide Seiten − a
→ x = b − a

Typ 2: x − a = b

x − a = b

Beispiel: x − 3 = 8

➡️ Beide Seiten + a
→ x = b + a

Typ 3: a · x = b

ax = b

Beispiel: 4x = 20

➡️ Beide Seiten ÷ a
→ x = b ÷ a

Typ 4: ax + b = c

ax + b = c

Beispiel: 3x + 2 = 14

➡️ Erst − b, dann ÷ a
→ x = (c − b) ÷ a

Reihenfolge beim Lösen (2 Schritte):
1️⃣ Erst die Konstante auf die andere Seite bringen (+ oder −)
2️⃣ Dann den Koeffizienten durch Division oder Multiplikation beseitigen
✅ Immer am Ende die Probe machen!

Lösungswege – Schritt für Schritt

📘 Typ 1: x + a = b | Beispiel: x + 5 = 12

x + 5 = 12 Ausgangsgleichung

x + 5 − 5 = 12 − 5 | − 5 auf beiden Seiten

x = 7 ✓ Lösung

      Probe:  7 + 5 = 12 ✓  →  LS = RS ✓
    

📗 Typ 2: x − a = b | Beispiel: x − 3 = 8

x − 3 = 8 Ausgangsgleichung

x − 3 + 3 = 8 + 3 | + 3 auf beiden Seiten

x = 11 ✓ Lösung

      Probe:  11 − 3 = 8 ✓
    

🟠 Typ 3: ax = b | Beispiel: 4x = 20

4x = 20 Ausgangsgleichung

4x ÷ 4 = 20 ÷ 4 | ÷ 4 auf beiden Seiten

x = 5 ✓ Lösung

      Probe:  4 · 5 = 20 ✓
    

🟣 Typ 4: ax + b = c | Beispiel: 3x + 2 = 14

3x + 2 = 14 Ausgangsgleichung

3x + 2 − 2 = 14 − 2 | − 2 auf beiden Seiten

3x = 12 vereinfacht

3x ÷ 3 = 12 ÷ 3 | ÷ 3 auf beiden Seiten

x = 4 ✓ Lösung

      Probe:  3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14 ✓
    

🟣 Typ 4b: ax − b = c | Beispiel: 5x − 3 = 17

5x − 3 = 17 Ausgangsgleichung

5x − 3 + 3 = 17 + 3 | + 3 auf beiden Seiten

5x = 20 vereinfacht

5x ÷ 5 = 20 ÷ 5 | ÷ 5 auf beiden Seiten

x = 4 ✓ Lösung

      Probe:  5 · 4 − 3 = 20 − 3 = 17 ✓
    

Die Probe – Wie macht man sie?

Die Probe ist der letzte Schritt beim Lösen einer Gleichung. Man setzt die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und prüft, ob Linke Seite = Rechte Seite gilt.

So macht man die Probe richtig

Gleichung:

2x + 4 = 10

Lösung, die wir gefunden haben:

x = 3

Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung:

2 · (3) + 4 = 10

6 + 4 = 10

10 = 10 ✓

Ergebnis:

LS = RS → Die Lösung x = 3 ist richtig! ✓

Was wenn die Probe NICHT aufgeht?

Gleichung:

3x − 1 = 8

Falsche Lösung (z.B. x = 2):

3 · (2) − 1 = 8

6 − 1 = 8

5 ≠ 8 ✗ ← Probe geht NICHT auf!

Was tun?

→ Fehler suchen! Richtige Lösung: 3x = 9, x = 3. Probe: 3·3−1 = 8 ✓

💡 Tipp: Wenn die Probe nicht aufgeht, einfach ruhig nochmal von vorne anfangen. Häufige Fehler: Vorzeichen vergessen, falsche Rechenoperation auf beiden Seiten.

Sachaufgaben – Gleichung aufstellen

Viele Aufgaben kann man mit einer Gleichung lösen. Dabei geht man in 4 Schritten vor:

Die 4 Schritte bei Sachaufgaben:
1️⃣ Variable bestimmen: „Ich nenne die gesuchte Zahl x."
2️⃣ Gleichung aufstellen: Die Aufgabe in eine Gleichung übersetzen
3️⃣ Gleichung lösen: x berechnen (Äquivalenzumformungen)
4️⃣ Antwort formulieren: Das Ergebnis als vollständigen Satz aufschreiben

Beispiel 1 – Addition

Aufgabe:

Tom hat x Münzen. Er findet 8 weitere und hat jetzt 21. Wie viele hatte er vorher?

Variable:

x = Anzahl der Münzen vorher

Gleichung:

x + 8 = 21

Lösen:

x + 8 = 21 | − 8

x = 13

Probe:

13 + 8 = 21 ✓

Antwort:

Tom hatte vorher 13 Münzen.

Beispiel 2 – Multiplikation

Aufgabe:

5 gleich große Pakete wiegen zusammen 35 kg. Wie schwer ist ein Paket?

Variable:

x = Gewicht eines Pakets in kg

Gleichung:

5x = 35

Lösen:

5x = 35 | ÷ 5

x = 7

Probe:

5 · 7 = 35 ✓

Antwort:

Ein Paket wiegt 7 kg.

Beispiel 3 – Zwei Schritte

Aufgabe:

Lena denkt sich eine Zahl. Sie verdoppelt sie und addiert 4. Das Ergebnis ist 18. Welche Zahl hat Lena gedacht?

Variable:

x = die gedachte Zahl

Gleichung:

2x + 4 = 18

Lösen:

2x + 4 = 18 | − 4

2x = 14 | ÷ 2

x = 7

Probe:

2 · 7 + 4 = 14 + 4 = 18 ✓

Antwort:

Lena hat die Zahl 7 gedacht.

⚠️ Häufige Fehler – und wie man sie vermeidet

Fehler	Falsch ❌	Richtig ✓
Nur eine Seite umformen	x + 5 = 12 → x = 12 (vergessen −5)	x + 5 − 5 = 12 − 5 → x = 7
Falsches Vorzeichen	x − 3 = 8 → x = 8 − 3 = 5	x − 3 + 3 = 8 + 3 → x = 11
Reihenfolge vertauscht	3x + 2 = 14 → erst ÷3, dann −2	Erst −2, dann ÷3 → x = 4
Probe vergessen	Lösung abgeben ohne Probe	Immer einsetzen und LS = RS prüfen!

Übungen – Gleichungen lösen

Löse alle Gleichungen und klicke am Ende auf „Alle auswerten". Schreib die Probe dazu!

1. Typ 1 – Löse: x + 6 = 15

x =

2. Typ 2 – Löse: x − 7 = 5

x =

3. Typ 3 – Löse: 5x = 30

x =

4. Typ 4 – Löse: 2x + 3 = 11

x =

5. Typ 4b – Löse: 4x − 6 = 10

x =

6. Löse: 3x + 7 = 22

x =

7. Löse: 6x = 48

x =

8. Welche Lösung stimmt für: 2x − 4 = 10

9. 🔤 Sachaufgabe: Tim hat x Euro gespart. Er gibt 12 Euro aus und hat noch 8 Euro. Wie viel hatte er vorher?

x = €

10. ⭐ Sachaufgabe: Anna denkt sich eine Zahl. Sie multipliziert sie mit 3 und addiert 5. Das Ergebnis ist 26. Welche Zahl hat Anna gedacht?

x =

Alle 10 Übungen gemacht?

Was ist eine Gleichung?

✅ Das sind Gleichungen:

❌ Das sind KEINE Gleichungen:

Die goldene Regel – Äquivalenzumformungen

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Die vier Gleichungstypen

Typ 1: x + a = b

Typ 2: x − a = b

Typ 3: a · x = b

Typ 4: ax + b = c

Lösungswege – Schritt für Schritt

Die Probe – Wie macht man sie?

Sachaufgaben – Gleichung aufstellen

⚠️ Häufige Fehler – und wie man sie vermeidet

Übungen – Gleichungen lösen

1. Typ 1 – Löse: x + 6 = 15

2. Typ 2 – Löse: x − 7 = 5

3. Typ 3 – Löse: 5x = 30

4. Typ 4 – Löse: 2x + 3 = 11

5. Typ 4b – Löse: 4x − 6 = 10

6. Löse: 3x + 7 = 22

7. Löse: 6x = 48

8. Welche Lösung stimmt für: 2x − 4 = 10

9. 🔤 Sachaufgabe: Tim hat x Euro gespart. Er gibt 12 Euro aus und hat noch 8 Euro. Wie viel hatte er vorher?

10. ⭐ Sachaufgabe: Anna denkt sich eine Zahl. Sie multipliziert sie mit 3 und addiert 5. Das Ergebnis ist 26. Welche Zahl hat Anna gedacht?

Bereit für die Probe?

KI-generierte Inhalte – nicht von Lehrern geprüft.