Terme

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht. Er hat keinen Wahrheitswert – es gibt kein Gleichheitszeichen!

✅ Das sind Terme:

3x

4a + 7

2x − 5y + 3

5(a + 2)

3x²

❌ Das sind KEINE Terme:

3x = 12 ← Gleichung!

4 + ← unvollständig

x > 5 ← Ungleichung!

Bestandteile eines Terms

Der Term: 3x + 5y − 2

3x + 5y − 2

🟣 3, 5 = Koeffizienten (Zahlen vor der Variable) 🟡 x, y = Variablen (Buchstaben als Platzhalter) 🟢 2 = Konstante (feste Zahl ohne Variable) ⚪ +, − = Rechenzeichen

🔡

Variable

Ein Buchstabe (z.B. x, y, a, b), der für eine unbekannte Zahl steht. Variablen können verschiedene Werte annehmen.

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Koeffizient

Die Zahl, die direkt vor einer Variable steht und mit ihr multipliziert wird. Bei 3x ist 3 der Koeffizient.

🔒

Konstante

Eine feste Zahl ohne Variable im Term. Sie ändert sich nicht, egal welchen Wert die Variable hat.

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Summand / Faktor

Die einzelnen Teile, die durch + oder − getrennt sind, heißen Summanden. Teile einer Multiplikation heißen Faktoren.

Wichtig: Schreibregel: Man schreibt statt 1·x einfach x, und statt −1·x einfach −x.
Außerdem: 3·x schreibt man kürzer als 3x (Punkt weglassen wenn Variable folgt).

Terme aufstellen

Aus Sachaufgaben oder Beschreibungen einen Term schreiben – das ist eine wichtige Fähigkeit!

Formulierung	Term
Das Dreifache von x	3x
5 mehr als das Doppelte von a	2a + 5
Das Produkt aus 4 und der Summe von y und 3	4(y + 3)
Die Differenz aus 10 und dem Vierfachen von x	10 − 4x
Die Hälfte von b, verringert um 7	b/2 − 7 oder 0,5b − 7
Das Quadrat von x, vermehrt um das Dreifache von x	x² + 3x
Der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten a und b	2a + 2b oder 2(a + b)

Beispiel: Sachaufgabe → Term

Aufgabe: Ein Apfel kostet a Cent, eine Banane kostet b Cent. Wie viel kosten 3 Äpfel und 2 Bananen zusammen?

Term: 3a + 2b

Wenn a = 50 und b = 30: 3·50 + 2·30 = 150 + 60 = 210 Cent = 2,10 €

Termwert berechnen (Einsetzen)

Den Termwert berechnet man, indem man für die Variable einen bestimmten Zahlenwert einsetzt und den Term dann ausrechnet.

1 Variable durch den gegebenen Wert ersetzen

Jeden Buchstaben im Term durch die angegebene Zahl ersetzen. Klammern setzen!

2 Punkt vor Strich beachten

Die normalen Rechenregeln (Punkt vor Strich, Klammern zuerst) gelten auch beim Einsetzen!

3 Ausrechnen

Den Term vollständig ausrechnen → das Ergebnis ist der Termwert.

Beispiel: Termwert für x = 4

Term: 3x + 7
Einsetzen: 3·(4) + 7 = 12 + 7 = 19

Term: x² − 2x + 5
Einsetzen: (4)² − 2·(4) + 5 = 16 − 8 + 5 = 13

Term: 4(x − 1)
Einsetzen: 4·((4) − 1) = 4·3 = 12

Beispiel: Zwei Variablen – a = 3, b = 5

Term: 2a + 3b − 1
Einsetzen: 2·(3) + 3·(5) − 1 = 6 + 15 − 1 = 20

⚠️ Tipp: Immer Klammern setzen beim Einsetzen, besonders bei negativen Zahlen!
Beispiel: x = −2 in 3x → 3·(−2) = −6 (nicht 3−2 = 1!)

Terme vereinfachen – Gleichartige Terme

Gleichartige Terme haben dieselbe Variable und denselben Exponenten. Nur gleichartige Terme können zusammengefasst (addiert/subtrahiert) werden!

✅ Gleichartig – kann zusammengefasst werden:

3x und 5x → gleiche Variable x

7y und −2y → gleiche Variable y

4 und 9 → beides Konstanten

2x² und 6x² → gleiche Variable, gleicher Exponent

❌ Nicht gleichartig – NICHT zusammenfassbar:

3x und 5y → verschiedene Variablen

4x und 4x² → verschiedene Exponenten

2a und 5 → Variable vs. Konstante

Terme vereinfachen – Schritt für Schritt

5x + 3y + 2x − y
→ x-Terme: 5x + 2x = 7x
→ y-Terme: 3y − y = 2y
→ Ergebnis: 7x + 2y

4a + 5b − 2a + 3 − b + 7
→ a-Terme: 4a − 2a = 2a
→ b-Terme: 5b − b = 4b
→ Konstanten: 3 + 7 = 10
→ Ergebnis: 2a + 4b + 10

Merkhilfe: Gleichartige Terme erkennt man daran, dass der „Buchstabenteil" identisch ist.
3x, −7x, 0,5x → alle gleichartig (alle haben nur „x")
5x², 3x² → gleichartig (alle haben „x²")
5x und 5x² → NICHT gleichartig!

Distributivgesetz – Klammern auflösen

Das Distributivgesetz (auch Ausmultiplizieren genannt) erlaubt es, Klammern aufzulösen:

a · (b + c) = a·b + a·c

Jeder Term innerhalb der Klammer wird mit dem Faktor außerhalb multipliziert!

Ausmultiplizieren – einfache Beispiele

3(x + 4) = 3·x + 3·4 = 3x + 12

5(2a − 3) = 5·2a − 5·3 = 10a − 15

2(x + y − 1) = 2·x + 2·y − 2·1 = 2x + 2y − 2

−3(x + 4) = −3·x + (−3)·4 = −3x − 12

−(x + 5) = −1·(x + 5) = −x − 5 → alle Vorzeichen kehren um!

⚠️ Achtung bei negativem Faktor: −2(3x − 4) = −6x + 8
Minus mal Minus = Plus! (−2)·(−4) = +8

Ausmultiplizieren + Vereinfachen kombiniert

3(x + 2) + 4x − 1
= 3x + 6 + 4x − 1   ← ausmultiplizieren
= (3x + 4x) + (6 − 1)   ← gleichartige Terme gruppieren
= 7x + 5

2(a + 3) − (a − 1)
= 2a + 6 − a + 1   ← Achtung: −(a−1) = −a+1
= (2a − a) + (6 + 1)
= a + 7

Ausklammern (Umkehrung des Distributivgesetzes)

Ausklammern ist das Gegenteil vom Ausmultiplizieren. Man sucht den größten gemeinsamen Faktor aller Summanden und schreibt ihn vor die Klammer:

a·b + a·c = a · (b + c)

So funktioniert Ausklammern:

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor aller Summanden finden (größten!)

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

Schritt 3: Jeden Summanden durch den Faktor dividieren → das steht in der Klammer

Schritt 4: Probe: ausmultiplizieren und prüfen ob es stimmt

Ausklammern – Beispiele

6x + 12 → gemeinsamer Faktor: 6
= 6·x + 6·2 = 6(x + 2)

4a − 8 → gemeinsamer Faktor: 4
= 4·a − 4·2 = 4(a − 2)

15x + 10y − 5 → gemeinsamer Faktor: 5
= 5·3x + 5·2y − 5·1 = 5(3x + 2y − 1)

3x² + 6x → gemeinsamer Faktor: 3x
= 3x·x + 3x·2 = 3x(x + 2)

💡 Probe: Einfach ausmultiplizieren und schauen ob man zum Ausgangsterm zurückkommt!
6(x + 2) = 6x + 12 ✓

Terme subtrahieren – Minus vor der Klammer

Steht ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer, kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um!

a − (b + c) = a − b − c a − (b − c) = a − b + c

Terme subtrahieren – Beispiele

(5x + 3) − (2x + 1)
= 5x + 3 − 2x − 1 ← Klammer auflösen, Vorzeichen umkehren
= (5x − 2x) + (3 − 1) = 3x + 2

(4a + 7) − (a − 3)
= 4a + 7 − a + 3 ← −(−3) = +3!
= (4a − a) + (7 + 3) = 3a + 10

8x − (3x − 5)
= 8x − 3x + 5 = 5x + 5

⚠️ Häufiger Fehler: (5x + 3) − (2x + 1) = 5x + 3 − 2x + 1 ❌ FALSCH!
Richtig: 5x + 3 − 2x − 1 = 3x + 2 ✓ (das Minus gilt für ALLE Terme in der Klammer)

Gegenterm

Der Gegenterm (auch: entgegengesetzter Term) entsteht, wenn man alle Vorzeichen eines Terms umkehrt. Die Summe aus einem Term und seinem Gegenterm ist immer 0.

Term	Gegenterm	Summe
3x	−3x	0
4a − 2	−4a + 2	0
5x + 3y − 1	−5x − 3y + 1	0
−2a + 7b	2a − 7b	0

Merke: Der Gegenterm von T ist −T. Einfach ein Minuszeichen vor den ganzen Term schreiben und dann ausmultiplizieren!
Gegenterm von (3x + 5) → −(3x + 5) = −3x − 5

Terme multiplizieren

Eine Zahl mit einem Term multiplizieren – das ist das Ausmultiplizieren ohne Klammern:

Zahl × Term

3 · 4x = (3·4)·x = 12x

5 · (2a + 3b) = 10a + 15b

−2 · 3x = −6x

4x · 3x = (4·3)·(x·x) = 12x² ← Klasse 6: Koeffizient und Variable getrennt multiplizieren

Übungen – Teste dein Können!

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1. Benenne die Bestandteile: Im Term 5x + 3y − 8 – welches ist der Koeffizient von y?

Koeffizient von y:

2. Stelle einen Term auf: „Das Fünffache von x, vermehrt um 7"

Term:

3. Berechne den Termwert für x = 3: T = 4x − 5

T =

4. Berechne den Termwert für x = 2, y = 5: T = 3x + 2y − 4

T =

5. Fasse zusammen: 7x + 3y + 2x − y

=

6. Fasse zusammen: 4a + 6 − 2a + 3b − 1

=

7. Welche Terme sind gleichartig zu 4x? Wähle alle richtigen!

8. Multipliziere aus: 3(x + 5)

=

9. Multipliziere aus: −4(2a − 3)

=

10. Klammere aus: 6x + 18

=

11. Was ist der Gegenterm von 3x − 5?

Gegenterm:

12. Berechne und vereinfache: 2(x + 3) + 3(x − 1)

=

13. Subtrahiere die Terme: (4x + 7) − (x + 2)

=

14. Welche Aussage ist FALSCH?

15. ⭐ Klammere aus: 12a² + 8a

=

Alle 15 Aufgaben bearbeitet?